El espectro del Titanic (26 page)

El conjunto S se encuentra dentro de un
mapa
y su frontera es el círculo que lo encierra. Ese círculo es, sencillamente, una línea continua sin espesor. Si pudieran examinarla con un microscopio de infinitos aumentos, verían lo mismo. Podrían ampliar el conjunto S hasta que tuviera el tamaño del Universo; su barrera seguiría siendo una línea de espesor cero. Y, no obstante, no hay agujeros en ella; es una barrera absolutamente impenetrable que separa para siempre las
zetas
inferiores a 1 de las superiores a 1.

Ahora, por fin, estamos preparados para habérnoslas con el conjunto M, en que estas ideas de sentido común son puestas cabeza abajo. Abróchense los cinturones.

Durante los años setenta, el matemático francés Benoît Mandelbrot, que trabajaba en Harvard y en IBM, empezó a investigar la ecuación que le haría famoso y que ahora escribiré en forma dinámica.

Z↔
^z2
+ c

La única diferencia entre ésta y la ecuación que hemos utilizado para describir el conjunto S es el término c. Este, no z, es ahora el punto de partida en nuestra operación de trazado del mapa. En la primera vuelta, z se pone igual a cero.

Parece un cambio insignificante, y nadie podía imaginar el universo que revelaría. El propio Mandelbrot no obtuvo las primeras visiones rudimentarias hasta la primavera de 1980 en que en los ordenadores empezaron a emerger vagas formas. Había empezado a atisbar a través de los versos de Keats:

Como veremos más adelante, la palabra «espuma» es sorprendentemente adecuada.

La nueva ecuación plantea y responde la misma pregunta que la anterior: ¿Qué forma adquiere el «territorio» cuando lo marcamos con números? Para el conjunto S era un círculo con radio: Vamos a ver lo que ocurre cuando empezamos con este valor en la ecuación M. Deberían ustedes poder hacerlo mentalmente… durante las primeras vueltas. Al cabo de un par de docenas de vueltas, hasta a un superordenador podría saltársele un fusible.

Para empezar: z = 0, c = 1. Por lo tanto, Z = 1

Primera vuelta: Z = 1
²
+ 1 = 2

Segunda vuelta: Z = 2
²
+ 1 = 5

Tercera vuelta: Z = 5
²
+ 1 = 26

Cuarta vuelta: Z = 26
²
+ 1… así sucesivamente.

Una vez, pedí a mi ordenador que calculara los términos superiores (lo que supone el límite de mi habilidad programadora) y sólo me dio dos valores más antes de empezar a aproximar:

Al llegar a este punto, abandonó, porque no cree que existan números de más de 38 dígitos.

No obstante, incluso los primeros dos o tres términos son suficientes para demostrar que el conjunto M ha de tener una forma muy diferente del perfecto círculo del conjunto S. Un punto situado en la misma distancia puede estar fuera de la frontera del conjunto M.

Observen que digo «puedo» no «debe». Todo depende de la dirección o rumbo original, del punto de partida del que hasta ahora hemos prescindido porque no afectaba a nuestro planteamiento del conjunto S perfectamente simétrico. Pero resulta que el conjunto M sólo es simétrico en su eje X u horizontal.

Uno podría suponerlo, por la naturaleza de la ecuación, pero nadie podría intuir su verdadero aspecto: si se me hubiera hecho esta pregunta en mis días de absoluta ignorancia del conjunto Mandelbrot, probablemente habría aventurado: algo así como una elipse aplastada por el eje «Y». Incluso (aunque lo dudo) tal vez hubiera adivinado que la figura se desplazaría hacia la izquierda, o dirección «menos».

Al llegar a este punto, me gustaría hacer con ustedes una prueba de imaginación. Puesto que el conjunto M es, literalmente, indescriptible, ésta es mi tentativa de descripción:

Imaginen que están ustedes mirando desde arriba a una tortuga bastante robusta que nada hacia el Oeste. Está cruzada de pez espada, por lo que tiene una punta muy afilada. Todo su contorno está festoneado de extraños apéndices marinos y tortuguitas de distinto tamaño con sus correspondientes apéndices en la periferia…

Les desafío a que encuentren una descripción
semejante
en un libro de matemáticas. Y, si piensan que pueden ustedes hacer algo mejor cuando hayan visto la bestia, les animo a intentarlo. (Imagino que el mundo de los insectos podría proporcionar analogías mejores; quizás haya un escarabajo Mandelbrot acechando en las selvas del Brasil. Lástima que no podamos llegar a descubrirlo.

Aquí tenemos la primera burda aproximación, despojada de detalles, parecida al «lago Mandelbrot» del castillo de Conroy (capítulo XVIII). Si desean ustedes llenar los espacios en blanco con la frase favorita de los cartógrafos medievales «Aquí, dragones» no estarán exagerando.

Ante todo, observen que, como ya he mencionado, la figura se vence hacia la izquierda (hacia el Oeste, si lo prefieren) del conjunto S que, desde luego, abarca desde +1 hasta 1 por el eje X. El conjunto M sólo llega hasta 0,25 hacia la derecha por el eje, aunque por encima y por debajo del eje, va hasta un poco más allá de 0,4.

A la izquierda, el mapa se estira hasta aproximadamente 1,4 y entonces saca una punta o antena peculiar que llega exactamente hasta 0,2. Por lo que se refiere al conjunto M, más allá de este punto, no hay
nada
; es el confin del universo. Los «fans» del Mandelbrot lo llaman «Utter West» o «Punta Oeste», y tal vez deseen ustedes saber lo que ocurre si hacen que c sea igual a 2. Z mayúscula no converge encero… pero tampoco escapa hacia el infinito, de manera que el punto pertenece al conjunto…
por poco
. Pero si hacemos que
c
sea algo mayor, pongamos 2,00000…000001, cuando quieran recordar ya habrán dejado atrás a Plutón e irán rumbo a Quasar Oeste.

Ahora llegamos a la diferencia más importante entre los dos conjuntos. El conjunto S tiene por límite una línea perfectamente limpia. La frontera del conjunto M es, por lo menos, sinuosa. Empezaremos a entrever la magnitud de esta sinuosidad cuando iniciemos su ampliación; sólo entonces veremos la increíble flora y fauna que prolifera en ese disputado territorio.

La frontera, si puede llamársele así, del conjunto M no es una simple línea; es algo que Euclides nunca imaginó, para lo que no hay una palabra. Mandelbrot recorrió el diccionario en busca de unos nombres sugestivos. Por ejemplo: espumas, esponjas, polvos, telarañas, barbas. El acuñó el nombre técnico
fractal y
actualmente está empeñado en una decidida campaña para impedir que alguien lo defina con excesiva precisión.

Los ordenadores pueden realizar fácilmente «instantáneas» del conjunto M con cualquier aumento que, incluso en blanco y negro, son fascinantes pero que, con una simple operación, pueden ser coloreadas y entonces se transforman en figuras de una belleza sorprendente y hasta surreal.

Desde luego, la ecuación original no tiene, con los colores, más asociación que los
Elementos de la Geometría
de Euclides. Pero si pedimos al ordenador que coloree cualquier zona según el número de vueltas que tenga que dar a
z
para decidir si pertenece o no al conjunto M, los resultados son esplendorosos.

Por lo tanto, los colores, aunque arbitrarios, no carecen de significado. Existe una exacta analogía con la cartografía. Fíjense ustedes en las líneas de contorno de un mapa en relieve que indican la altitud sobre el nivel del mar. Con frecuencia, los espacios entre línea y línea están coloreados para que la vista pueda captar el relieve con más facilidad.

Lo mismo ocurre con los gráficos batimétricos; cuanto más profundo el océano, más oscuro el azul. El cartógrafo puede poner los colores que desee y él se rige por la estética tanto como por la geografía.

Aquí sucede otro tanto, salvo que
estas
líneas del contorno se fijan automáticamente por la velocidad del cálculo: no entraré en detalles. No sé quién fue el genio que tuvo la idea (quizás el propio Monsieur M) pero las convierte en fantásticas obras de arte. Y tendrían que verlas con animación…

Uno de los muchos pensamientos extraños que sugiere el conjunto M es éste: en principio, podía haberse descubierto cuando la especie humana aprendió a contar. En la práctica, puesto que una imagen de «pocos aumentos» puede implicar
miles de millones
de cálculos, en modo alguno podía haber sido ni entrevista antes de que se inventaran los ordenadores. Y para hacer películas tales como
Nada más que zooms
de Art Matrix, hubiera sido necesario que toda la actual población del mundo hubiera estado haciendo números día y noche durante años (sin cometer
ni un
error) para multiplicar billones de números de cien cifras…

Dije al principio que el conjunto Mandelbrot es el descubrimiento más extraordinario de la historia de las matemáticas. Porque, ¿quién iba a imaginar que una ecuación tan absurdamente sencilla podía generar esta infinita (literalmente) complejidad y esta sublime belleza?

Esencialmente, tal como he tratado de explicar, el conjunto Mandelbrot es un mapa. Todos hemos leído relatos en los que un mapa revela dónde está escondido el tesoro.

Bien, en este caso… ¡el mapa
es
el tesoro!

Colombo, Sri Lanka, 28 de febrero de 1990

Sir ARTHUR CHARLES CLARKE, más conocido como Arthur C. Clarke, fue un escritor y científico británico. Nació el 16 de diciembre de 1917 en Minehead (Inglaterra) y falleció el 19 de marzo de 2008 en Colombo (Sri Lanka).

Autor de obras de divulgación científica y de ciencia ficción, como
2001: Una odisea del espacio
,
El centinela
o
Cita con Rama
y co–guionista de la película
2001: Una odisea del espacio
.