El espectro del Titanic (25 page)

Estoy especialmente agradecido a mi colaborador Gentry Lee (
Gradle
, la trilogía
Rama
) por haber programado su agenda de manera que yo pudiera concentrar todas mis energías en mi propia última novela.

Muchas gracias a Navam y Sally Tambayah (y no digamos a Tasha y Cindy) por su hospitalidad, su WORDSTAR y sus fax…

Y, finalmente, un tributo a mi querido amigo Reginald Ross que, además de darme otras muchas pruebas de amabilidad, me hizo descubrir hace medio siglo a Rachmaninov y a Elgar y que murió a los 91 años mientras se escribía este libro.

MANDELBROT

En la actualidad existen infinidad de escritos sobre el conjunto Mandelbrot, que fue presentado al mundo ajeno a la IBM en el artículo «Computer Recreations» (
Scientific American
, agosto, 1985 pp. 1625). El libro del propio maestro,
The Fractal Geometry of Nature
(Geometría fractal de la Naturaleza, W. H. Freeman, 1982) es muy técnico y prácticamente inaccesible incluso para quienes se hacen ilusiones sobre sus habilidades matemáticas. No obstante, buena parte del texto es informativo e ingenioso, por lo que vale la pena leerlo por encima. Sin embargo, contiene sólo muy breves referencias al conjunto M cuya exploración apenas se había iniciado en 1982.

The Beauty of Factals
(La belleza de los fractals, H.O. Peitgen y P. H. Richter, SpringerVerlag, 1986) fue el primer libro que mostraba el conjunto M en glorioso tecnicolor y contiene un ensayo fascinante (y, con frecuencia, divertido) del propio doctor M. sobre los orígenes y descubrimiento (¿invento?) del conjunto. Describe posteriores desarrollos en
The Science of Fractal Images
(La ciencia de las imágenes fractal, adaptado por HO. Peitgen y Dietmar Saupe: SpringerVerlag, 1988). Ambos libros son muy técnicos.

Mucho más accesible para el lector simplemente aficionado (pero intrépido) es
The Armchair Universe
(W. H. Freeman, 1988) que contiene el artículo original publicado en el
Scientific American
en 1985 con actualización e información sobre software disponible para PC. Yo me he sentido muy satisfecho con MandFXP de Cygnus Software, 1215 Davie St, P.O. Box 363, Vancouver, BC, V6E 1N4, Canadá, que he usado extensamente en mi AMIGA 2000. Mientras hacía un documental para televisión «Dios, el Universo y todo lo demás» para el Canal 4 del Reino Unido tuve el señalado privilegio de mostrar a Stephen Hawking varios preciosos «agujeros negros» que yo había descubierto mientras ampliaba el Conjunto a unas proporciones equivalentes a la órbita de Marte. Otro proveedor de software del conjunto M (para MAC e IBM) es Sintar Software, 1001, 4th Avenue., Suite 3200, Seattle, WA 98154.

Ni que decir tiene que hay «revistas para aficionados» del Mandelbrot que contienen sugerencias para la aceleración de los programas, notas de exploradores de lejanas regiones del conjunto y hasta muestras de un nuevo género literario: fractalficción. La hoja informativa se llama
Amygdala
, editada por Rollo Silver, que también suministra software (Box 111, San Cristóbal, NM 87564).

Indudablemente, la mejor forma de apreciar el Conjunto es a través de las cintas de vídeo que se han hecho de él, generalmente con acompañamiento musical. La más célebre es «Nothing but Zooms» (Nada más que zooms) de Art Matrix P.O. Box 889, Ithaca, NY 14851. También me gustó «A Fractal Ballet» (The Fractal Stuff Company, P.O. Box 5201, Spokane, WA 992055202).

En rigor, el «Extremo Oeste» del conjunto M está exactamente en 2, no 1,999… hasta el infinito como se indica en el capítulo XVIII. ¿A alguien le interesa partir la diferencia?

No sé si se han producido casos de mandelmanía en la vida real. Pero espero recibir información al respecto tan pronto como aparezca este libro… y me adelanto a declinar toda responsabilidad.

Los colores del infinito

En noviembre de 1989, cuando recibí el premio de la Asociación de Exploradores del Espacio por Realizaciones Especiales, en Riad, Arabia Saudí, tuve el privilegio de dirigirme al mayor auditorio de astronautas y cosmonautas que se haya congregado en un solo lugar (más de cincuenta, entre ellos, Buzz Aldrin y Mike Collins del
Apolo XI y
el primer «caminante espacial», Alexei Leonov, que ya no se siente violento por compartir con Andrei Sajarov la dedicatoria de
2010: Odisea Dos
). Con tal motivo, decidí ampliar sus horizontes presentándoles algo
realmente
grande y, con el príncipe astronauta Sultan ben Salman ben Abdul Aziz en la presidencia, pronuncié una conferencia profusamente ilustrada sobre «Los colores del infinito: explorando el Universo Fractal».

El siguiente material ha sido extraído de mi charla; otra parte aparece al principio del capítulo XV. Sólo lamento no poder ilustrarlo con las espléndidas diapositivas de 35 milímetros (y vídeos) que usé en Riad.

Hoy todo el mundo está familiarizado con los gráficos, especialmente con el que indica, el tiempo en el eje horizontal mientras el coste de la vida trepa progresivamente por el vertical. La idea de que cualquier punto en un plano pueda expresarse mediante dos números, generalmente indicados por x y z, resulta tan evidente que sorprende que el mundo de las matemáticas tuviera que esperar hasta 1637 para que Descartes diera con ella.

Todavía estamos descubriendo las consecuencias de esta idea tan simple en apariencia, y la más sorprendente tiene ahora diez años. Se llama conjunto Mandelbrot (en lo sucesivo, conjunto M) y muy pronto van ustedes a encontrarlo en todas partes: en el diseño de tejidos, en el papel de la pared, en las joyas y en el linóleo. Y mucho me temo que aparezca también en la pantalla de su televisor en casi todos los anuncios.

Pese a su tardío descubrimiento, la característica más asombrosa del conjunto M es su
simplicidad
básica. A diferencia de casi todo lo demás de las matemáticas modernas, cualquier colegial puede comprender cómo se genera. Su obtención no requiere nada más avanzado que la suma y la multiplicación; no hay necesidad de recurrir a operaciones tan complejas como la resta y, ¡Dios nos libre!, la división, para no hablar de las bestias más exóticas de la fauna matemática.

Debe de haber, en el mundo civilizado, muy pocas personas que no se hayan encontrado con la famosa E = mc
²
de Einstein o que la consideren excesivamente complicada para su comprensión. Bien, la ecuación que define el conjunto M contiene el mismo número de términos y, desde luego, tiene un aspecto muy similar.

Aquí está:

Z=z
²
+c

No resultaba aterrador, ¿verdad? Sin embargo, toda la vida del Universo no bastaría para explorar todas sus ramificaciones.

Las
zetas y
la
ce
de la ecuación de Mandelbrot son números, no (como en la de Einstein) cantidades físicas como masa y energía. Son las coordenadas que especifican la posición de un punto, y la ecuación controla la forma en que el punto se mueve, para trazar una figura.

Existe una analogía muy simple, familiar a todo el mundo: esos cuadernos infantiles con páginas en blanco salpicadas de números que, cuando se unen siguiendo el orden correcto, revelando una figura, a menudo, inesperada. La imagen que vemos en una pantalla de televisión está producida por una aplicación sofisticada del mismo principio.

En teoría, cualquiera que sepa sumar y multiplicar puede desarrollar el conjunto M con un bolígrafo o un lápiz y una hoja de papel cuadriculado. No obstante, existen ciertas dificultades de orden práctico, como veremos después… concretamente, la circunstancia de que la vida humana rara vez abarca más de cien años. Por lo tanto, el conjunto debe generarse invariablemente por ordenador y, normalmente, se representa en pantalla.

Bien, hay dos formas de localizar un punto en el espacio. La primera implica el empleo de una imaginaria plantilla de pilotaje, con referencias Oeste–Este y Norte–Sur, o, en papel cuadriculado, un eje horizontal X y un eje vertical Y. Pero está también el sistema utilizado en el radar, familiar para la mayoría de la gente, gracias a las películas. Aquí la posición de un objeto se da 1) por su distancia desde el punto de partida y 2) por su dirección o rumbo. Por cierto, éste es el sistema
natural
, el que el individuo utiliza automática e inconscientemente cuando practica cualquier juego de pelota. Entonces lo que importan son las distancias y los ángulos con el individuo en el punto de origen.

Imaginen la pantalla del ordenador como una pantalla de radar, con una única señal cuyos movimientos van a trazar el conjunto M. Ahora bien, antes de conectar el radar, deseo simplificar la ecuación todavía más:

Z = z
²

Por el momento, he suprimido la
ce
y he dejado sólo las dos
zetas
. Vamos ahora a definirlas con más precisión. La z minúscula es la amplitud inicial de la señal. La distancia a la que empieza. La Z mayúscula es la distancia final desde el punto de partida. Así, si inicialmente estaba a 2 unidades de distancia, obedeciendo a esta ecuación, rápidamente saltaría a una distancia de 4.

No tiene nada de extraordinario, pero ahora viene la modificación que supone toda la diferencia:

Z ↔ z
²

Esta doble flecha es una señal de tráfico de doble sentido e indica que los números van en ambos sentidos. Esta vez, no nos paramos en Z = 4; lo hacemos igual a una nueva z, la cual, rápidamente nos da una segunda Z de 16 y así sucesivamente. En un santiamén habremos generado la serie

256:65.536:4.294.967.196.

y el puntito que había empezado sólo a 2 unidades del centro va camino del infinito a pasos agigantados de magnitud creciente.

Este proceso de dar vueltas y vueltas al rizo se llama «iteración». Es como el perro que se persigue la cola, salvo que el perro no va a ninguna parte mientras que la iteración matemática puede llevarnos a lugares muy extraños… como veremos en seguida.

Ahora estamos preparados para conectar nuestro radar. La mayoría de las pantallas tienen marcados círculos de amplitud a 10, 20… 100 kilómetros desde el centro. Nosotros sólo necesitaremos un círculo, con una amplitud de 1. No hay necesidad de especificar unidades, puesto que estamos tratando con números puros. Pueden imaginar que son centímetros o años luz, lo que prefieran.

Supongamos que el punto de partida de nuestra señal está en cualquier punto de este círculo… el rumbo concreto no importa. Entonces z es 1.

Y porque 1 al cuadrado sigue siendo 1, Z también lo es. Y permanece en este valor porque, por más veces que se multiplique, 1 al cuadrado siempre será 1. La señal puede ir dando vueltas y vueltas por el círculo,
pero siempre se mantiene dentro de él
.

Ahora vamos a imaginar que la z inicial es superior a 1. Ya hemos visto con qué rapidez la señal se lanza al infinito si z es igual a 2… y lo mismo ocurrirá más tarde o más temprano aunque sea sólo una fracción microscópica superior al, por ejemplo: 1,000000000000000000001. Observen.

A la primera elevación al cuadrado, Z se convierte en:

1,000000000000000000002

después:

y así sucesivamente durante varias páginas de impresora. Para todos los fines prácticos, el valor sigue siendo 1 exactamente. La señal no se ha desplazado visiblemente ni hacia fuera ni hacia adentro; todavía está en el círculo de amplitud 1.

Pero los ceros, poco a poco, van desapareciendo y los dígitos, inexorablemente, avanzan desde la derecha. De pronto, algo cambia en el tercer lugar decimal, en el segundo, en el primero… y, al cabo de pocas vueltas, los números explotan, como indica el ejemplo:

Podría haber un millón o mil millones de ceros a la derecha y el resultado seguiría siendo el mismo. Al fin los dígitos irían avanzando hasta la coma decimal y entonces la Z despegaría hacia el infinito.

Veamos ahora el otro caso. Supongamos que z es una microscópica fracción inferior a 1, digamos:

,99999999999999999999

Lo mismo que antes, no ocurre gran cosa durante mucho tiempo, mientras vamos multiplicando y multiplicando, salvo que los números de la derecha se hacen cada vez menores. Y, al cabo de unos cuantos miles o millones de iteraciones, ¡la catástrofe! De pronto, Z se disuelve en una interminable fila de ceros…

Hagan la prueba en su ordenador. ¿Que sólo puede manejar doce dígitos? Bien, no importa los que sean; el resultado será el mismo. Pueden estar seguros…

El resultado de este «programa» puede resumirse en tres leyes que tal vez, de tan triviales, parezca que no merece la pena mencionarlas. Pero no hay una verdad matemática que sea trivial y, en unos cuantos pasos más, estas leyes nos conducirán a un universo asombroso y bellísimo.

He aquí las tres leyes del programa del «cuadrado»:

1. Si el valor z es exactamente igual a 1, el producto Z siempre será 1.
   
2. Si la cantidad inicial
   es más
   de 1, el producto al final será infinito.
   
3. Si la cantidad inicial es
   menos
   de 1, el producto se convierte al fin en cero.
   

Por lo tanto, ese círculo de radio 1 es una especie de mapa o, si lo prefieren, una barrera que divide el plano en dos territorios distintos. Fuera, los números que obedecen a la ley del cuadrado tienen la libertad del infinito; los números del interior son prisioneros, están atrapados y condenados a la extinción.

En este punto, alguien puede decir: «Usted habla sólo de amplitud y distancias desde el punto de partida. Para fijar la posición de la señal también hay que dar su rumbo. ¿No le parece?».

Cierto. Afortunadamente, para este proceso de selección, esta división de las
zetas
en dos clases distintas, los rumbos son indiferentes; cualquiera que sea la dirección hacia la que apunta r, ocurre lo mismo. En este simple ejemplo, llamémosle conjunto S, podemos prescindir de ellos. Cuando pasamos al caso ya más complicado del conjunto M en el que el rumbo
es
importante, existe un recurso matemático muy limpio que lo resuelve utilizando números complejos o imaginarios (que en realidad no son en absoluto complejos y, menos, imaginarios). Pero aquí no los necesitamos y prometo no volver a mencionarlos.