¿Es Dios un Matemático? (28 page)

Mi querido amigo, soy muy feliz al ver tu inclinación por transformarte en un naturalista para observar los fenómenos del mundo aritmético. Tu doctrina, a mi parecer, es la misma que la mía; yo creo que los números y las funciones del análisis no son productos arbitrarios de nuestra mente; creo que existen fuera de nosotros con las mismas características necesarias que los elementos de la realidad objetiva, y que nosotros los hallamos, los descubrimos y los estudiamos, del mismo modo que los físicos, los químicos y los zoólogos.

El matemático inglés G. H. Hardy, que practicaba la matemática pura, era uno de los platónicos más categóricos. El 7 de septiembre de 1922, en una elocuente alocución en la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia, declaraba:

Los matemáticos han construido gran número de sistemas geométricos distintos.
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Euclidianos y no euclidianos, de dos, tres o cualquier número de dimensiones. Todos estos sistemas son igualmente válidos, y encarnan los resultados de las
observaciones de la realidad
de los matemáticos, una realidad mucho más intensa y rígida que la dudosa y elusiva realidad de la física … La función de un matemático es, pues, simplemente observar los hechos de su propio e intrincado sistema de realidad, ese complejo increíblemente bello de relaciones lógicas que constituye el contenido de su ciencia, como si se tratase de un explorador oteando una lejana cordillera, y registrar los resultados de sus observaciones en una serie de mapas, cada uno de los cuales es una rama de la matemática pura. (La cursiva es mía.)

Es evidente que, incluso con las pruebas del momento que apuntaban a una naturaleza arbitraria de la matemática, los platónicos más acérrimos no estaban dispuestos a entregar sus armas. Fueran cuales fuesen las opiniones acerca de la realidad metafísica de la matemática, había un concepto cada vez más obvio. Incluso dentro de la aparentemente ilimitada libertad de la matemática, una restricción seguía en su lugar, inmutable e inquebrantable: la de la
coherencia lógica.
Los matemáticos y los filósofos eran más conscientes que nunca de la imposibilidad de cortar el cordón umbilical entre la matemática y la lógica. Y de aquí surgió una nueva idea: ¿sería posible construir toda la matemática sobre una única base lógica? Y a la inversa: ¿podían utilizarse los métodos matemáticos en el estudio del razonamiento en general?

El cartel de una barbería en cierto pueblo dice: «Sólo afeito a los que no se afeitan a sí mismos».
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Suena razonable, ¿verdad? Es obvio que los hombres que se afeitan a sí mismos no precisan de los servicios del barbero, y es natural entonces que éste afeite a todos los demás. Pero podemos preguntarnos: ¿quién afeita al barbero? Si se afeita a sí mismo, entonces, según el cartel, él debería ser uno de los que
no
afeita. Por otra parte, si no se afeita a sí mismo, de nuevo según el cartel, ¡debería ser uno de los que él
sí
afeita! Entonces, ¿qué es? A lo largo de la historia, enemistades familiares graves han surgido de preguntas mucho más inofensivas. Esta
paradoja
fue formulada por primera vez por Bertrand Russell (1872-1970), uno de los lógicos y filósofos más destacados del siglo XX, con la simple intención de demostrar que la intuición lógica humana no es infalible. Las paradojas o «antinomias» reflejan situaciones en las que premisas aparentemente aceptables conducen a conclusiones inaceptables. En el ejemplo anterior, el barbero del pueblo se afeita y no se afeita a sí mismo simultáneamente. ¿Tiene solución esta paradoja en concreto? Si está enunciada
del modo descrito arriba,
hay una posible solución simple: ¡el barbero es una mujer! Por otro lado, si se ha establecido con anterioridad que el barbero es un hombre, la conclusión absurda sería el resultado de haber aceptado antes la premisa. En otras palabras, este barbero no puede existir. Pero ¿qué tiene todo esto que ver con la matemática? Pues da la casualidad de que la matemática y la lógica están íntimamente relacionadas. Así describía Russell esa relación:
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«Desde un punto de vista histórico, la matemática y la lógica han sido disciplinas totalmente independientes. La matemática ha estado conectada con la ciencia y la lógica con el griego. Pero ambas se han desarrollado en los últimos tiempos: la lógica se ha hecho más matemática y la matemática, más lógica. En consecuencia, en los tiempos actuales [en 1919] trazar una línea de separación entre ambas se ha convertido en una tarea imposible; en realidad, las dos son una misma cosa. Su diferencia es como la que hay entre un muchacho y un hombre: la lógica es la juventud de la matemática, y la matemática es la madurez de la lógica».

Russell mantiene aquí que, en gran parte, la matemática se puede reducir a lógica. En otras palabras, que los conceptos básicos de la matemática, incluso los objetos como los números, pueden en realidad definirse en términos de las leyes fundamentales del razonamiento. Es más: más adelante, Russell argumentó que esas definiciones se pueden unir a los principios de la lógica para dar origen a los teoremas de la matemática.

Esta visión de la naturaleza de la matemática (denominada logicismo) recibió el visto bueno tanto de los que consideraban que la matemática no era más que un elaborado juego inventado (los formalistas) como de los atribulados platónicos. Los primeros se alegraron (en principio) de ver cómo un conjunto de «juegos» aparentemente no relacionados entre sí se fusionaban en una «madre de todos los juegos». Los segundos vieron un rayo de esperanza en su idea de que la totalidad de la matemática podía haber brotado de un solo, indudable, origen. A los ojos de los platónicos, esta visión incrementaba la probabilidad de un único origen metafísico.

Por completitud, debería mencionar una escuela de pensamiento —el intuicionismo— que se oponía con vehemencia tanto al logicismo como al formalismo.
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El abanderado de esta escuela era el algo fanático matemático holandés Luitzen E. J. Brouwer (1881-1966). Brouwer creía que los números naturales derivaban de una intuición humana del tiempo y de momentos discretos de nuestra experiencia. Para él, era indudable que la matemática era un producto del pensamiento humano y, por tanto, no veía necesidad alguna para la existencia de leyes lógicas universales del tipo de las previstas por Russell. Sin embargo, Brouwer iba mucho más allá: afirmaba que las únicas entidades matemáticas con sentido eran aquellas que se podían construir de forma explícita sobre la base de los números naturales en un número finito de etapas.
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En consecuencia, rechazaba grandes áreas de la matemática para las que era imposible hallar pruebas constructivas. Otro de los conceptos lógicos que Brouwer negaba era el
principio del tercio excluso
(la condición de que cualquier afirmación es o bien cierta, o bien falsa). En vez de eso, permitía que las afirmaciones flotasen en el limbo de la «indecisión». Esta y otras restricciones intuicionistas convirtieron esta escuela de pensamiento en algo marginal que, en la actualidad, no goza de demasiado predicamento entre los matemáticos. Sin embargo, las ideas de los intuicionistas se anticiparon a algunos de los descubrimientos de los científicos cognitivos acerca del modo en que las personas adquieren los conocimientos matemáticos (un tema que trataremos en el capítulo 9) y también dieron forma a las contribuciones de algunos de los modernos filósofos de la matemática (como Michael Dummett).

Pero ¿cómo se desarrolló la estrecha asociación entre matemática y lógica? Y el programa de los logicistas ¿era en absoluto viable? Repasemos brevemente algunos de los hitos de los últimos cuatro siglos.

Según la tradición, la lógica trataba acerca de las relaciones entre conceptos y proposiciones,
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y sobre los procesos que permitían extraer deducciones válidas de estas relaciones. En un ejemplo simple, las deducciones de la forma «Todo X es Y; algunos Z son X, luego algunos Z son Y» se construyen de forma que se garantiza automáticamente la verdad de la conclusión siempre que las premisas sean ciertas. Por ejemplo: «Todos los biógrafos son escritores; algunos políticos son biógrafos; luego, algunos políticos son escritores» genera una conclusión cierta. Por otra parte, las inferencias de la forma general: «Todos los X son Y; algunos Z son Y; por tanto, algunos Z son X» no son válidas, porque se pueden hallar ejemplos en los que, aunque las premisas sean ciertas, la conclusión sería falsa. Por ejemplo: «Todos los hombres son mamíferos; algunos animales con cuernos son mamíferos; luego, algunos animales con cuernos son hombres».

Siempre que se sigan algunas reglas, la validez de un argumento no depende del tema de las afirmaciones. Por ejemplo:

O bien el mayordomo mató al millonario, o le mató su hija.

Su hija no le mató.

Luego, el mayordomo le mató.

Genera una deducción válida. La solidez de este argumento no se basa en absoluto en nuestra opinión acerca del mayordomo o en la relación entre el millonario y su hija. La validez queda garantizada por el hecho de que las proposiciones que siguen la forma general: «si o
p
o
q,
y no
q,
entonces
p»
resultan en una verdad lógica.

Quizá habrá notado que, en los dos primeros ejemplos, los papeles que desempeñan X, Y y Z son similares a los de las variables en las ecuaciones matemáticas: marcan el lugar en el que se pueden introducir expresiones, del mismo modo que se introducen valores en las variables del álgebra. De forma parecida, la verdad de la inferencia «si o
p
o
q,
y no
q,
entonces
p»
recuerda a los axiomas de la geometría de Euclides. Y sin embargo, tuvieron que pasar casi dos milenios de contemplación de la lógica para que los matemáticos asumieran esta analogía.

La primera persona que intentó combinar las disciplinas de la lógica y la matemática en una «matemática universal» fue el matemático y filósofo racionalista alemán Gottfried Wilhelm Leibniz. Leibniz, que en realidad tenía formación en derecho, llevó a cabo la mayoría de sus trabajos en matemáticas, física y filosofía en sus ratos de ocio. En vida, su mayor fama se debió a la formulación de las bases del cálculo de forma independiente (y casi simultánea) de Newton, y de la amarga controversia entre ambos por la prioridad en este asunto. En un ensayo que había imaginado casi por completo a los dieciséis años de edad, Leibniz previó un lenguaje universal de la razón o
characteristica universalis,
que consideraba la herramienta definitiva del pensamiento. Su plan consistía en representar las nociones e ideas simples mediante símbolos, y las más complejas mediante las combinaciones apropiadas de estos símbolos básicos. Leibniz esperaba literalmente poder calcular la verdad de cualquier afirmación, en cualquier disciplina científica, mediante puras operaciones algebraicas. Vaticinó que bastaría el cálculo lógico adecuado para resolver los debates filosóficos. Por desgracia, Leibniz no avanzó demasiado en el desarrollo de su álgebra de la lógica. Aparte del principio general de «alfabeto del pensamiento», sus dos principales contribuciones fueron únicamente una afirmación clara sobre en qué circunstancias debemos ver dos cosas como iguales y la confirmación más bien obvia de que ninguna afirmación puede ser simultáneamente verdadera y falsa. Así, a pesar de que las ideas de Leibniz eran realmente brillantes, pasaron prácticamente desapercibidas.

La lógica volvió a ponerse de moda a mediados del siglo XIX, y este súbito incremento de interés produjo importantes obras, primero por Augustus de Morgan (1806-1871) y posteriormente por George Boole (1815-1864), Gottlob Frege (1848-1925) y Giuseppe Peano (1858-1932).

De Morgan era un escritor extraordinariamente prolífico,
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que publicó literalmente miles de artículos y libros sobre diversos temas relacionados con la matemática, la historia de la matemática y la filosofía. Entre sus obras más peculiares se encuentran un almanaque de lunas llenas (válido durante milenios) y un compendio de matemática excéntrica. A una pregunta acerca de su edad, respondió: «Tenía x años en el año x
²
». Se puede comprobar que el único número que, al elevarlo al cuadrado, da un resultado entre 1806 y 1871 (los años de nacimiento y muerte de De Morgan) es 43. Probablemente, las contribuciones más originales de De Morgan fueron en el campo de la lógica, en el que amplió de forma significativa el ámbito de los silogismos de Aristóteles y ensayó una estrategia algebraica de razonamiento. De Morgan miraba la lógica con los ojos de un algebrista, y el álgebra con los ojos de un lógico. En uno de sus artículos describía su visionaria perspectiva: «Debemos volver la vista al álgebra para hallar el uso más habitual de las formas lógicas … El algebrista ya vivía en el elevado mundo de los silogismos, de la incesante composición de relaciones, antes de que se admitiese la simple existencia de ese mundo».

Una de las contribuciones más cruciales de De Morgan a la lógica se denomina «cuantificación del predicado». Se trata de un nombre más bien rimbombante para lo que se podría considerar un sorprendente descuido de los lógicos de la época clásica. Los aristotélicos se dieron cuenta de que, a partir de premisas como «algunos Z son X» y «algunos Z son Y» no se podía llegar a conclusión necesaria alguna sobre la relación entre X e Y. Por ejemplo, las frases «algunas personas comen pan» y «algunas personas comen manzanas» no permiten extraer una conclusión decisiva acerca de la relación entre los comedores de manzanas y los de pan. Hasta el siglo XIX, los lógicos asumieron también que, para poder establecer una relación necesaria entre X e Y, el término medio (la mencionada «Z») debía ser
universal en
una de las premisas. Es decir, la frase debía incluir «todos los Z». De Morgan demostró que esta suposición era errónea. En su libro
Formal Logic
(publicado en 1847), señalaba que, a partir de premisas como «la mayoría de Z son X» y «la mayoría de Z son Y» sigue necesariamente que «algunos X son Y». Por ejemplo, las frases «casi todas las personas comen pan» y «casi todas las personas comen manzanas» implican de modo inevitable que «algunas personas comen tanto pan como manzanas». De Morgan fue un paso más allá y expresó su nuevo silogismo en una forma cuantitativa precisa. Imaginemos que el número total de Z es
z,
el número de Z que son también X es
x
y el número de Z que son también Y es
y.
En el ejemplo anterior, podría haber 100 personas en total (z= 100), de las cuales 57 comen pan
(x
= 57) y 69 comen manzanas
(y =
69). Entonces, señalaba De Morgan, debe haber al menos
(x+y- z)
X que son también Y. Al menos 26 personas (el resultado de 57 + 69 - 100 = 26) comen tanto pan como manzanas.